Question

19．已知直线l：4x-3y+m=0（m＜0）被圆C：x²+y²+2x-2y-6=0所截的弦长是圆心C到直线l的距离的2倍，则m等于（　　）

• A． -2
• B． -3
• C． -4
• D． -5

Answer 1

分析 圆C的圆心C（-1，1），半径r=2$\sqrt{2}$，由直线l：4x-3y+m=0（m＜0）被圆C：x²+y²+2x-2y-6=0所截的弦长是圆心C到直线l的距离的2倍，得∠AOB=90°，AB=4，圆心C（-1，1）到直线l：4x-3y+m=0（m＜0）的距离d=$\frac{|m-7|}{5}$=2，由此能求出m．

解答 解：圆C：x²+y²+2x-2y-6=0的圆心C（-1，1），半径r=$\frac{1}{2}\sqrt{4+4+24}$=2$\sqrt{2}$，
∵直线l：4x-3y+m=0（m＜0）被圆C：x²+y²+2x-2y-6=0所截的弦长是圆心C到直线l的距离的2倍，
∴∠AOB=90°，∴AB=$\sqrt{{r}^{2}+{r}^{2}}$=$\sqrt{8+8}$=4，
∴圆心C（-1，1）到直线l：4x-3y+m=0（m＜0）的距离：
d=$\frac{|-4-3+m|}{\sqrt{16+9}}$=$\frac{|m-7|}{5}$=2，
由m＜0，解得m=-3．
故选：B．

点评 本题考查实数值的求法，考查直线方程、圆、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．