Question

9．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{2x+y≥4}\\{4x-y≤8}\\{x-y≥-1}\end{array}\right.$，则z=x²+y²-2x的取值范围是（　　）

• A． [0，19]
• B． [$-\frac{1}{5}，3$]
• C． [$-\frac{1}{5}，0$]
• D． [$-\frac{1}{5}，19$]

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化x²+y²-2x为（x-1）²+y²-1，由其几何意义，即可行域内的动点与定点P（1，0）距离的平方减1求得答案．

解答 解：由约束条件实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{2x+y≥4}\\{4x-y≤8}\\{x-y≥-1}\end{array}\right.$，作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y=-1}\\{4x-y=8}\end{array}\right.$，解得A（3，4），
x²+y²-2x=（x-1）²+y²-1，其几何意义为可行域内的动点与定点P（1，0）距离的平方减1，
∵P到直线2x+y=4的距离d=$\frac{|2×1-4|}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，|PA|=$\sqrt{（3-1）^{2}+（4-0）^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∴x²+y²-2x的取值范围是[-$\frac{1}{5}$，19]．
故选：D．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查数学转化思想方法，是中档题．