Question

20．已知$a=\int_{-\frac{π}{4}}^{\frac{3π}{4}}{2cos（x-\frac{π}{4}）}dx$，则${（{x-\frac{a}{{\sqrt{x}}}}）^8}$展开式中x⁵的系数为448．

Answer 1

分析 先根据定积分求出a的值，再根据二项式的通项公式求得结果．

解答 解：$a=\int_{-\frac{π}{4}}^{\frac{3π}{4}}{2cos（x-\frac{π}{4}）}dx$=2sin（x-$\frac{π}{4}$）${|}_{-\frac{π}{4}}^{\frac{3π}{4}}$=2[sin（$\frac{3π}{4}$-$\frac{π}{4}$）-sin（-$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{4}$）]=4，
∴${（{x-\frac{a}{{\sqrt{x}}}}）^8}$展通项为C₈^r（-4）^r${x}^{8-\frac{3r}{2}}$，
令8-$\frac{3}{2}$r=5，解得r=2，
∴展开式中x⁵的系数为C₈²（-4）²=448．
故答案为：448

点评 本题主要考查了定积分的计算和二项式定理，属于基础题．