Question

15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B是A、C的等差中项，且b=2，则△ABC面积的最大值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由已知利用等差数列的性质及三角形内角和定理可求B，利用余弦定理，基本不等式可求ac≤4，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：由2B=A+C，A+B+C=π，得B=$\frac{π}{3}$，
由余弦定得b²=a²+c²-2accosB=4，
即a²+c²-ac=4，
又a²+c²≥2ac，（当且仅当a=c时等号成立），得ac≤4，
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac$≤\sqrt{3}$，即△ABC面积的最大值为$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了等差数列的性质，三角形内角和定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．