Question

7．在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1：3，分数在80以上（含80）的同学获奖，按文理科用分层抽样的方法共抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的2×2列联表．
（1）填写下面的2×2列联表，问能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？
（2）将上述调查所得的频率视为概率，现从参赛学生中，任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为X，求X的分布列及数学期望．

	文科生	理科生	合计
获奖	5
不获奖		115
合计			200

附表及公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
K0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （1）根据题意填写列联表，计算K²，对照临界值得出结论；
（2）由表中数据知抽到1名同学获奖的概率值，且随机变量X～B（3，$\frac{1}{5}$），
计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值．

解答 解：（1）根据题意，填写2×2列联表如下；

	文科生	理科生	合计
获奖	5	35	40
不获奖	45	115	160
合计	50	150	200

计算K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{200{×（5×115-45×35）}^{2}}{50×150×40×160}$≈4.167＞3.841，
∴有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”；
（2）由表中数据可知，抽到1名同学获奖的概率为$\frac{1}{5}$，
且“获奖”学生人数X的可能取值为0，1，2，3；
则X～B（3，$\frac{1}{5}$），
∴P（X=k）=${C}_{3}^{k}$•${（\frac{1}{5}）}^{k}$•${（\frac{4}{5}）}^{3-k}$，其中k=0，1，2，3；
∴X的分布列为

X	0	1	2	3
P	$\frac{64}{125}$	$\frac{48}{125}$	$\frac{12}{125}$	$\frac{1}{125}$

数学期望为EX=np=3×$\frac{1}{5}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列、数学期望的计算问题，是中档题．