Question

12．已知函数f（x）=cosxcos（x-$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$sin²x-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
（1）求f（x）的最小正周期T；
（2）设g（x）=af（x）+b，若g（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的值域为[0，3]，求实数a，b的值；
（3）若f（x）+1+（-1）ⁿ•m＞0对任意的x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]和n∈N^*恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性求得f（x）的最小正周期T．
（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得g（x）=af（x）+b，若g（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的值域，结合g（x）=af（x）+b，若g（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的值域为[0，3]，求得实数a，b的值．
（3）由题意可得，在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上，f（x）+1+（-1）ⁿ•m的最小值大于零，分类讨论n，从而求得实数m的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=cosxcos（x-$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$sin²x-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
=cosx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx+$\frac{1}{2}$sinx）+$\sqrt{3}$•$\frac{1-cos2x}{2}$-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{1}{4}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{4}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$cos2x=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$），
故f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）∵g（x）=af（x）+b=$\frac{a}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）+b，在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，
故当2x-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{2}$时，g（x）取得最小值为-a+b，当2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$时，g（x）取得最小值为-$\frac{a}{4}$a+b．
结合g（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的值域为[0，3]，可得-a+b=0，-$\frac{a}{4}$+b=3，∴a=4，b=-4．
（3）由（1）可得，在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-1，$\frac{1}{2}$]，∴f（x）∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$]．
若f（x）+1+（-1）ⁿ•m＞0对任意的x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]和n∈N^*恒成立，
则f（x）+1+（-1）ⁿ•m的最小值大于零．
当n为偶数时，-$\frac{1}{2}$+1+m＞0，∴m＞-$\frac{1}{2}$．
当n为奇数时，-$\frac{1}{2}$+1-m＞0，∴m＜$\frac{1}{2}$．
故当n为偶数时，实数m的范围为（-$\frac{1}{2}$，+∞）；
当n为奇数时，m的范围为（-∞，$\frac{1}{2}$ ）．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，函数的恒成立问题，属于中档题．