Question

10．定义：在等式（x²+x+1）ⁿ=${D}_{n}^{0}{x}^{2n}$${+D}_{n}^{1}{x}^{2n-1}{+D}_{n}^{2}{x}^{2n-2}+…{+D}_{n}^{2n-1}x{+D}_{n}^{2n}$（n∈N）中，把${D}_{n}^{0}{，D}_{n}^{1}{，D}_{n}^{2}$，…，${D}_{n}^{2n}$叫做三项式的n次系数列（如三项式的1次系数列是1，1，1）．
（1）填空：三项式的2次系数列是1，2，3，2，1；三项式的3次系数列是1，3，6，7，6，3，1．
（2）由杨辉三角数阵表可以得到二项式系数的性质${C}_{n+1}^{k}{=C}_{n}^{k}{+C}_{n}^{k-1}$，类似的请用三项式n次系数列中的系数表示${D}_{n+1}^{k+1}$（1≤k≤2n-1，k∈N）（无须证明）；
（3）求${D}_{6}^{3}$的值．

Answer 1

分析 （1）由（x²+x+1）²=x⁴+x²+1+2x³+2x²+2x=x⁴+2x³+3x²+2x+1，求得2次系数列．同理根据（x²+x+1）³=（x⁴+2x³+3x²+2x+1）（x²+x+1）=x⁶+3x⁵+6x⁴+7x³+6x²+3x+1，求得3次系数列．
（2）①②如图所示：根据三项式的2次系数列和3次系数列的定义，可得结论．
（3）根据三项式的2次系数列和3次系数列的定义，再利用组合数公式的性质，可用二项式系数表示

解答 解：（1）∵（x²+x+1）²=x⁴+x²+1+2x³+2x²+2x=x⁴+2x³+3x²+2x+1，
∴三项式的2次系数列是1，2，3，2，1；
∵（x²+x+1）³=（x⁴+2x³+3x²+2x+1）（x²+x+1）=x⁶+3x⁵+6x⁴+7x³+6x²+3x+1，
∴三项式的3次系数列是1，3，6，7，6，3，1．
（2）${D}_{n+1}^{k+1}$=${D}_{n}^{k-1}+{D}_{n}^{k}+{D}_{n}^{k+1}$（ 1≤k≤2 n-1 ）；
（3）由（2）${D}_{6}^{3}$表示（x²+x+1）⁶的展开式中x⁹的系数，所以${D}_{6}^{3}$=${C}_{6}^{4}{C}_{2}^{1}+{C}_{6}^{3}{C}_{3}^{3}$=50．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，组合数的计算公式的应用，属于中档题．