Question

12．已知平行四边形ABCD，顶点A（1，1），B（4，3），C（1，-1）．
（1）求D点的坐标；
（2）若$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，且λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$垂直，求实数λ的值．

Answer 1

分析 （1）设出点D（x，y），利用向量相等列方程组求出点D的坐标；
（2）由向量垂直数量积为0，列方程求出λ的值．

解答 解：（1）设点D（x，y），∵点A（1，1），B（4，3），C（1，-1），
∴$\overrightarrow{AB}$=（3，2），$\overrightarrow{DC}$=（1-x，-1-y）；
又$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-x=3}\\{-1-y=2}\end{array}\right.$，
解得x=-2，y=-3，
∴点D（-2，-3）；
（2）∵$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$=（3，2），$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$=（0，-2），
∴λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（3λ，2λ-2），$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$=（3，6），
且λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$垂直，
∴（λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=9λ+6×（2λ-2）=0，
解得λ=$\frac{4}{7}$．

点评 本题考查了平面向量的坐标表示与数量积运算问题，是基础题．