Question

3．已知平行四边形ABCD中，AD=2，∠BAD=60°，$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=1，则$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{BE}$=3．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，利用平面向量的线性表示与数量积运算，
求出$\overrightarrow{AB}$的模长，再计算$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{BE}$的值．

解答 解：如图所示，
平行四边形ABCD中，$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{AE}$，∴E为CD的中点，
又$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=1，
∴（$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$）=1，
即${\overrightarrow{AD}}^{2}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$=1；
设|$\overrightarrow{AB}$|=m，
则2²-$\frac{1}{2}$×2×m×cos60°-$\frac{1}{2}$m²=1，
化简得m²+m-6=0，
解得m=2或m=-3（不合题意，舍去）；
∴$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{BE}$=（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$）
=${\overrightarrow{AD}}^{2}$-$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$
=2²-$\frac{3}{2}$×2×2×cos60°+$\frac{1}{2}$×2²
=3．
故答案为：3．

点评 本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．