Question

8．已知α∈（0，π ），且sinα+cosα=$\frac{7}{13}$，则tanα=-$\frac{12}{5}$；sin²α-sinαcosα-2cos²α=$\frac{154}{169}$．

Answer 1

分析 由题意利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．

解答 解：∵α∈（0，π ），且sinα+cosα=$\frac{7}{13}$ ①，∴1+2sinαcosα=$\frac{49}{169}$，∴2sinαcosα=-$\frac{120}{169}$ ②，
∴α∈（$\frac{π}{2}$  π），结合①②求得sinα=$\frac{12}{13}$，cosα=-$\frac{5}{12}$，∴tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=-$\frac{12}{5}$．
∴sin²α-sinαcosα-2cos²α=$\frac{{sin}^{2}α-sinαcosα-{2cos}^{2}α}{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α}$=$\frac{{tan}^{2}α-tanα-2}{{tan}^{2}α+1}$=$\frac{\frac{144}{25}+\frac{12}{5}-2}{\frac{144}{25}+1}$=$\frac{154}{169}$，
故答案为：-$\frac{12}{5}$；$\frac{154}{169}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．