Question

13．如图，表中数据满足：
（1）第1行为1；
（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n；
（3）从第3行起每行除首尾两个数外每个数等于上一行它肩上的两个数之和．
则第n行（n≥2）第2个数是$\frac{{n}^{2}}{2}-\frac{n}{2}+1$．

Answer 1

分析 依据“中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和”则第二个数等于上一行第一个数与第二个数的和，即有a_n+1=a_n+n（n≥2），再由累加法求解

解答 解：依题意a_n+1=a_n+n（n≥2），a₂=2
所以a₃-a₂=2a₄-a₃=3，a_n-a_n-1=n
累加得a_n-a₂=2+3+…+（n-1）=$\frac{（n+1）（n-2）}{2}$
所以 a_n=$\frac{{n}^{2}}{2}-\frac{n}{2}+1$（n＞2）
当n=2时a₂=2，也满足上述等式 
故a_n=$\frac{{n}^{2}}{2}-\frac{n}{2}+1$（n≥2）；
故答案为：$\frac{{n}^{2}}{2}-\frac{n}{2}+1$（n≥2）

点评 本题通过三角数表构造了一系列数列，考查了数列的通项及求和的方法，还考查了数列间的关系，入题较难，知识点．