Question

4．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinωx，$\sqrt{3}$cosωx），$\overrightarrow{b}$=（cosωx，cosωx）（ω＞0），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$的最小正周期为π．
（1）求ω的值，并求f（x）的单调递增区间；
（2）将y=f（x）图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位长度，再将所得图象上所有点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，若g（x）+m-1=0在[0，$\frac{π}{2}$]有只有一个实根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据已知最小正周期求出ω的值，确定出函数解析式，利用正弦函数的单调性即可确定出函数f（x）的单调增区间；
（2）根据三角函数平移变换的规律，求解g（x），在[0，$\frac{π}{2}$]上求解g（x）的图象．g（x）+m-1=0有且只有一个实数解，即图象g（x）与y=1-m，只有一个交点，即可求实数m的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=sinωxcosωx+$\sqrt{3}$cos²ωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$sin2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2ωx=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$），
∵f（x）的最小正周期为π，且ω＞0
∴$\frac{2π}{2ω}$=π，
∴ω=1，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，得到-$\frac{5π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{π}{12}$+kπ，k∈Z，
则f（x）的增区间为[-$\frac{5π}{12}$+kπ，$\frac{π}{12}$+kπ]，k∈Z；
（2）由（1）可知：f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位长度，得到y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象，
再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin（x-$\frac{π}{3}$）的图象．即g（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）
∵0≤x≤$\frac{π}{2}$
∴-$\frac{π}{3}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$
g（x）+m-1=0在[0，$\frac{π}{2}$]上只有一个实数解，即图象g（x）与y=1-m，只有一个交点，
当x=-$\frac{π}{3}$时，g（x）图象取得最低点，即g（-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
由正弦函数图象可知：-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜1-m≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$时只有一个交点，以及1-m=-1时，也有一个交点．即实数m的取值范围为：1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤m＜1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$或m=2．

点评 此题考查了平面向量的数量积运算，正弦函数的定义域与值域，以及正弦函数的单调性，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．