Question

16．菱形ABCD中，∠BAD=60°，点E满足$\overrightarrow{DE}$=2$\overrightarrow{EC}$，若$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BE}$=$\frac{17}{2}$，则该菱形的面积为（　　）

• A． $\frac{9}{2}$
• B． $\frac{9\sqrt{3}}{2}$
• C． 6
• D． 6$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 将$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BE}$用菱形的各边对应的向量表示，展开得到关于菱形边长的等式，求出菱形边长，得到所求面积．

解答 解：由已知菱形ABCD中，∠BAD=60°，点E满足$\overrightarrow{DE}$=2$\overrightarrow{EC}$，若$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BE}$=$\frac{17}{2}$，设菱形边长为3x，
所以$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BE}$=（$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}$）•（$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}$）=$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{CE}$+$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{CE}$=9x²-$\frac{3}{2}{x}^{2}$+3x²-2x²=$\frac{17}{2}{x}^{2}$=$\frac{17}{2}$，解得x=1，
所以菱形的边长为3，
所以菱形的面积为$3×3×sin60°=\frac{9\sqrt{3}}{2}$；
故选B．

点评 本题考查了平面向量的三角形法则以及数量积公式的运用；关键是将已知的数量积等式转化为关于菱形边长的等式，利用数量积公式求出菱形边长．