Question

15．已知{a_n}是公比为q的等比数列，a₁=1，a₁+a₂=$\frac{5}{3}$．
（Ⅰ）当q=$\frac{2}{3}$；
（Ⅱ）在a₁和a_n+1之间插入n个数，其中n=1，2，3，…，使这n+2个数成等差数列．记插入的n个数的和为S_n，求S_n的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等比数列通项公式能求出公比q．
（Ⅱ）由${a}_{n}={a}_{1}{q}^{n-1}=（\frac{2}{3}）^{n-1}$，得S_n=$\frac{n（{a}_{n}+{a}_{n+1}）}{2}$=$\frac{5n}{6}•（\frac{2}{3}）^{n-1}$，由S_n-1-S_n=$\frac{5}{6}•（\frac{2}{3}）^{n-1}•\frac{2-n}{3}$，从而S₁＜S₂，S₂=S₃，S₃＞S₄＞S₅＞…由此能求出S_n的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵{a_n}是公比为q的等比数列，a₁=1，a₁+a₂=$\frac{5}{3}$，
∴$1+1×q=\frac{5}{3}$，解得q=$\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$．
（Ⅱ）${a}_{n}={a}_{1}{q}^{n-1}=（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
∴${a}_{n}+{a}_{n+1}=（\frac{2}{3}）^{n-1}+（\frac{2}{3}）^{n}$=$\frac{5}{3}×（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
依题意得S_n=$\frac{n（{a}_{n}+{a}_{n+1}）}{2}$=$\frac{5n}{6}•（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
∵S_n-1-S_n=$\frac{5（n+1）}{6}•（\frac{2}{3}）^{n}$-$\frac{5n}{6}•（\frac{2}{3}）^{n-1}$=$\frac{5}{6}•（\frac{2}{3}）^{n-1}•\frac{2-n}{3}$．
∴S₁＜S₂，S₂=S₃，S₃＞S₄＞S₅＞…
∴S_n的最大值为S₂=S₃=$\frac{10}{9}$．

点评 本题考查等比数列的公比的求法，考查等差数列的前n项和的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列、等差数列的性质的合理运用．