Question

5．某地高中年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知这些学生的原始成绩均分布在[50，100]内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表，并规定：A，B，C 三级为合格，D 级为不合格．

百分制	[85，100]	[70，85）	[60，70）	[50，60）
等级	A	B	C	D

为了了解该地高中年级学生身体素质情况，从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示．
（Ⅰ）求n及频率分布直方图中 x，y 的值；
（Ⅱ）根据统计思想方法，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该地高中学生中任选3 人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；
（Ⅲ）上述容量为n 的样本中，从 A、C 两个等级的学生中随机抽取了3 名学生进行调研，记ξ为所抽取的3 名学生中成绩为 A 等级的人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率分布直方图及茎叶图能求出n及频率分布直方图中 x，y 的值．
（Ⅱ）成绩是合格等级人数为45人，抽取的50人中成绩是合格等级的频率为$\frac{9}{10}$，得到从该校学生中任选1人，成绩是合格等级的概率为$\frac{9}{10}$，设在该校高一学生中任选3人，至少有1人成绩是合格等级的事件为A，利用对立事件概率计算公式能求出至少有1人成绩是合格等级的概率．
（Ⅲ）由题意C等级学生人数为9人，A等级的人数为3人，则ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及E（ξ）．

解答 解：（Ⅰ）由题意知样本容量n=$\frac{6}{0.012×10}$=50，
x=$\frac{2}{50×10}$=0.004．
y=$\frac{1-0.04-0.1-0.12-0.56}{10}$=0.018．
（Ⅱ）成绩是合格等级人数为：（1-0.1）×50=45人，
抽取的50人中成绩是合格等级的频率为$\frac{9}{10}$，
故从该校学生中任选1人，成绩是合格等级的概率为$\frac{9}{10}$，
设在该校高一学生中任选3人，至少有1人成绩是合格等级的事件为A，
则P（A）=1-（1-$\frac{9}{10}$）³=$\frac{999}{1000}$．
（Ⅲ）由题意C等级学生人数为0.18×50=9人，A等级的人数为3人，
∴ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{9}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{21}{55}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{9}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{27}{55}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{9}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{27}{220}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{1}{220}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{21}{55}$	$\frac{27}{55}$	$\frac{27}{220}$	$\frac{1}{220}$

E（ξ）=$0×\frac{21}{55}+1×\frac{27}{55}+2×\frac{27}{220}+3×\frac{1}{220}$=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查考查频率分布直方图、茎叶图、概率、离散型机变量分布列等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，考查数形结合思想，函数与方程思想，是中档题．