Question

10．如图，在△ABC中，∠C为直角，AC=BC=4，沿△ABC的中位线DE，将平面ADE折起，使得∠ADC=90°，得到四棱锥A-BCDE．
（1）求证；BC⊥平面ACD；
（2）求E到面ABC的距离；
（3）M是棱CD的中点，过M作平行于平面ABC的截面，画出该截面，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）由DE∥BC，∠C=90°，得DE⊥AD，同时DE⊥DC，证明DE⊥平面ACD，即可证得BC⊥平面ACD；
（2）由BC⊥平面ACD得AD⊥BC，又AD⊥DC，可证得AD⊥平面BCDE，利用等积法即可求出E到平面ABC的距离；
（3）分别取AD，EA，AB的中点N，P，Q，并连接MN，NP，PQ，QM，得平面MNPQ为所作，
证明平面MNPQ∥平面ABC即可．

解答 解：（1）证明：∵DE∥BC，∠C=90°，∴DE⊥AD，同时DE⊥DC，
又AD∩DC=D，
∴DE⊥平面ACD．
又∵DE∥BC，
∴BC⊥平面ACD；
（2）由（1）知，BC⊥平面ACD，又AD?平面ADC，
∴AD⊥BC．
又∵∠ADC=90°，
∴AD⊥DC．
又∵BC∩DC=C，
∴AD⊥平面BCDE；
∴三棱锥E-ABC的体积为
V_{三棱锥E-ABC}=V_{三棱锥A-BCD}=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$BC•CD•AD=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×4×2×2=$\frac{8}{3}$；
设点E到面ABC的距离为h，
且△ABC的面积为$\frac{1}{2}$BC•AC=$\frac{1}{2}$×4×$\sqrt{{2}^{2}{+2}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{3}$h•4$\sqrt{2}$=$\frac{8}{3}$，
解得h=$\sqrt{2}$，即点E到平面ABC的距离为$\sqrt{2}$；
（3）分别取AD，EA，AB的中点N，P，Q，连接MN，NP，PQ，QM，
则平面MNPQ即为所作的平面；
证明如下；
∵QM∥AC，QM?平面ABC，AC?平面ABC，
∴QM∥平面ACD；
同理，MN∥平面ABC，且QM∩MN=M，QM?平面MNPQ，MN?平面MNPQ，
∴平面MNPQ∥平面ABC，
即四边形MNPQ是过点M且平行于平面ABC的截面．

点评 本题考查了直线与平面垂直的证明，以及利用等积法求体积和面面平行的应用问题，是综合题．