Question

18．已知函数f（x）=|x+2|+|x-3|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＜6的解集；
（Ⅱ）若关于的不等式f（x）≥|2a+1|恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）求出f（x）的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）不等式f（x）＜6，即|x+2|+|x-3|＜6，可化为
①$\left\{\begin{array}{l}{x≤-2}\\{-（{x+2}）-（{x-3}）＜6}\end{array}$或②$\left\{\begin{array}{l}{-2＜x＜3}\\{（{x+2}）-（{x-3}）＜6}\end{array}$或③$\left\{\begin{array}{l}{x≥3}\\{（{x+2}）+（{x-3}）＜6}\end{array}$
解①得$-\frac{5}{2}＜x≤-2$，解②得-2＜x＜3，解③得$3≤x＜\frac{7}{2}$，
综合得$-\frac{5}{2}＜x＜\frac{7}{2}$，即原不等式的解集为$\{x|-\frac{5}{2}＜x＜\frac{7}{2}\}$．       …6分
（Ⅱ）因为f（x）=|x+2|+|x-3|≥|（x+2）-（x-3）|=5，
当且仅当-2≤x≤3时，等号成立，即f（x）_min=5，
又关于的不等式f（x）≥|2a+1|恒成立，则|2a+1|≤5，
解得-3≤a≤2，即实数的取值范围为[-3，2]．…12分．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．