【题目】在平面直角坐标系中,已知抛物线的焦点F在直线上。
(Ⅰ)求抛物线C的方程。
(Ⅱ)过点做互相垂直的两条直线与曲线C交于A,B两点,与曲线C交于E,F两点,线段AB、EF的中点分别为M、N,求证:直线MN过定点P,并求出定点P的坐标。
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【题目】已知函数,且.
(1)求实数的值;
(2)判断函数在区间上的单调性,并用函数单调性的定义证明;
(3)求实数的取值范围,使得关于的方程分别为:
①有且仅有一个实数解;②有两个不同的实数解;③有三个不同的实数解.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标方程为, 的极坐标方程为.
(1)求直线与的交点的轨迹的方程;
(2)若曲线上存在4个点到直线的距离相等,求实数的取值范围.
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【题目】如图,已知与分别是边长为1与2的正三角形, ,四边形为直角梯形,且, ,点为的重心, 为中点, 平面, 为线段上靠近点的三等分点.
(Ⅰ)求证: 平面;
(Ⅱ)若二面角的余弦值为,试求异面直线与所成角的余弦值.
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【题目】已知函数满足.
(Ⅰ)当时,解不等式;
(Ⅱ)若关于x的方程的解集中有且只有一个元素,求a的值;
(Ⅲ)设,若对,函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.
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【题目】已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点(0, )作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.
(Ⅰ)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;
(Ⅱ)求证:A为线段BM的中点.
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【题目】某中学组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试,学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析,分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.
(Ⅰ)若所得分数大于等于80分认定为优秀,求男、女生优秀人数各有多少人?
(Ⅱ)在(Ⅰ)中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人,从这5人中任意任取2人,求至少有一名男生的概率.
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【题目】[2018·郴州期末]已知三棱锥中,垂直平分,垂足为,是面积为的等边三角形,,,平面,垂足为,为线段的中点.
(1)证明:平面;
(2)求与平面所成的角的正弦值.
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