【题目】如图,已知与
分别是边长为1与2的正三角形,
,四边形
为直角梯形,且
,
,点
为
的重心,
为
中点,
平面
,
为线段
上靠近点
的三等分点.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)若二面角的余弦值为
,试求异面直线
与
所成角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).
【解析】试题分析:⑴连延长交
于
,推导出
,又
为
中点,所以
,又
,所以
,从而证明
平面
;
⑵为原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线
与
所成角的余弦值
解析:(Ⅰ)解:在中,连
延长交
于
,因为点
为
的重心
所以,且
为
中点,又
,
所以,所以
;
又为
中点,所以
,又
,
所以,所以
四点共面
又平面
,
平面
所以平面
(Ⅱ)由题意, 平面
,所以
,平面
平面
,且交线为
,
因为,所以
平面
,
又四边形为直角梯形,
,
,所以
,所以
平面
因为,
,所以平面
平面
,
又与
分别是边长为1与2的正三角形,
故以为原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴建立空间直角坐标系,
设,则
,
,
,
,
,
,
因为
所以,
,
设平面的法向量
,则
,取
,
平面的法向量
,
所以二面角的余弦值
,
,又
,
直线与
所成角的余弦值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线的焦点为
.
(1)若抛物线的焦点到准线的距离为4,直线
,求直线
截抛物线
所得的弦长;
(2)过点的直线交抛物线
于
两点,过点
作抛物线的切线,两切线相交于点
,若
分别表示直线
与直线
的斜率,且
,求
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某公司为了了解2018年当地居民网购消费情况,随机抽取了100人,对其2018年全年网购消费金额(单位:千元)进行了统计,所统计的金额均在区间内,并按
,
,…,
6组,制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中的值;
(2)若将全年网购消费金额在20千元及以上者称为网购迷.结合图表数据,补全列联表,并判断是否有
的把握认为样本数据中的网购迷与性别有关系?说明理由;
男 | 女 | 合计 | |
网购迷 | 20 | ||
非网购迷 | 45 | ||
合计 |
下面的临界值表仅供参考:
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
附: .
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某地4个蔬菜大棚顶部,阳光照在一棵棵茁壮生长的蔬菜上,这些采用水培、无土栽培方式种植的各类蔬菜,成为该地区居民争相购买的对象,过去50周的资料显示,该地周光照量(小时)都在30以上,其中不足50的周数大约5周,不低于50且不超过70的周数大约有35周,超过70的大约有10周,根据统计某种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量
(百斤)与每个蔬菜大棚使用农夫1号液体肥料
(千克)之间对应数据为如图所示的折线图.
(1)依据数据的折线图,用最小二乘法求出关于
的线性回归方程
;并根据所求线性回归方程,估计如果每个蔬菜大棚使用农夫1号肥料10千克,则这种改良黄瓜每个蔬菜大鹏增加量
是多少斤?
(2)因蔬菜大棚对光照要求较大,某光照控制仪商家为应对恶劣天气对光照的影响,为该基地提供了部分光照控制仪,该商家希望安装的光照控制仪尽可能运行,但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量限制,并有如下关系:
周光照量 | 30<X<50 | ||
光照控制仪最多可运行台数 | 3 | 2 | 1 |
若某台光照控制仪运行,则该台光照仪周利润为4000元;若某台光照仪未运行,则该台光照仪周亏损500元,欲使商家周总利润的均值达到最大,应安装光照控制仪多少台?
附:回归方程系数公式: ,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标系中,点
在倾斜角为
的直线
上,以坐标原点
为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的方程为
.
(1)写出的参数方程及
的直角坐标方程;
(2)设与
相交于
两点,求
的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}.
(1)若A∪B=A,求实数m的取值范围;
(2)当x∈Z时,求A的非空真子集的个数;
(3)当x∈R时,若A∩B=,求实数m的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,已知抛物线
的焦点F在直线
上。
(Ⅰ)求抛物线C的方程。
(Ⅱ)过点做互相垂直的两条直线
与曲线C交于A,B两点,
与曲线C交于E,F两点,线段AB、EF的中点分别为M、N,求证:直线MN过定点P,并求出定点P的坐标。
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四面体ABCD中,△ABC是等边三角形,平面ABC⊥平面ABD,点M为棱AB的中点,AB=2,AD=,∠BAD=90°.
(Ⅰ)求证:AD⊥BC;
(Ⅱ)求异面直线BC与MD所成角的余弦值;
(Ⅲ)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.
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