Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠C₁为直角
（1）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若D是AB的中点，求证：AC₁∥平面CDB₁
（2）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，当四边形A₁ACC₁满足什么条件时，能满足A₁B⊥AC₁，并加以证明．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）连接BC₁交B₁C于E，证明AC₁∥平面CDB₁，只需证明AC₁∥DE，利用三角形中位线可得；
（2）当四边形A₁ACC₁满足AC₁⊥A₁C时，能满足A₁B⊥AC₁，证明AC₁⊥平面A₁BC，即可得出结论．

解答： （1）证明：连接BC₁交B₁C于E，∴E为BC₁的中点，
连接DE，由D为AB的中点，∴DE为△ABC₁的中位线，
∴AC₁∥DE，
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁；
（2）解：当四边形A₁ACC₁满足AC₁⊥A₁C时，能满足A₁B⊥AC₁，
证明如下：∵BC⊥AC，BC⊥A₁A，AC∩A₁A=A，
∴BC⊥平面A₁ACC₁，
∴BC⊥AC₁，
∵AC₁⊥A₁C，A₁C∩BC=C，
∴AC₁⊥平面A₁BC，
∵A₁B?平面A₁BC，
∴A₁B⊥AC₁．

点评：本题考查线面平行，考查线面垂直，正确利用线面平行、垂直的判定定理是关键．