Question

设函数f（x）、g（x）的定义域分别为D_J、D_E，且D_J⊆D_E，若对于任意x∈D_J，都有g（x）=f（x），则称g（x）函数为f（x）在D_E上的一个延拓函数．设f（x）=e^-x（x-1）（x＞0），g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是奇函数．给出以下命题：
①当x＜0时，g（x）=e^-x（1-x）；          
②函数g（x）有3个零点；
③g（x）＞0的解集为（-1，0）∪（1，+∞）；      
④?x₁，x₂∈R，都有|g（x₁）-g（x₂）|≤2．
其中正确命题的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：设x＜0，则-x＞0，由函数得性质可得解析式，可判①的真假，再由性质作出图象可对其他命题作出判断．

解答： 解：由题意得，x＞0时，g（x）=f（x）=e^-x（x-1），
当x＜0时，则-x＞0，g（-x）=f（-x）=e^x（-x-1）=-g（x），所以g（x）=e^x（x+1），故①不正确；
对x＜0时的解析式求导数可得，g′（x）=e^x（x+2），令其等于0，解得x=-2，
且当x∈（-∞，-2）上导数小于0，函数单调递减；当x∈（-2，+∞）上导数大于0，函数单调递增，
x=-2处为极小值点，且g（-2）＞-1，且在x=1处函数值为0，且当x＜-1是函数值为负．
又因为奇函数的图象关于原点中心对称，故函数f（x）的图象应如图所示：
由图象可知：函数f（x）有3个零点，故②③正确；
由于函数-1＜g（x）＜1，故有对?x₁，x₂∈R，|g（x₂）-g（x₁）|＜2恒成立，即④不正确．
故选：B．

点评：本题是个新定义题，主要考查利用函数奇偶性求函数解析式的方法，在解题时注意对于新定义的理解，是个中档题．作出函数的图象是解决问题的