Question

已知函数f（x）=2cos²x-sin（2x-

7π

6

）．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,二倍角的余弦,正弦函数的单调性,三角函数的最值

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）化简可得f（x）=1+sin（2x+

π

6

）．令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z
（2）由x∈[-

π

6

，

π

3

]，解得-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，由正弦函数的单调性知f（x）_max=2，f（x）_min=f（-

π

6

）=1-

1

2

=

1

2

．

解答： 解：（1）f（x）=2cos²x-sin（2x-

7π

6

）=1+cos2x+sin（2x-

π

6

）=1+sin（2x+

π

6

）．
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z
故函数f（x）的单调递增区间为：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．
（2）∵x∈[-

π

6

，

π

3

]∴解得-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

∴由正弦函数的单调性知f（x）_max=2，f（x）_min=f（-

π

6

）=1-

1

2

=

1

2

．

点评：本题主要考查了正弦函数的单调性，三角函数的最值，两角和与差的正弦函数，属于基本知识的考查．