Question

棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的8个顶点都在球O的表面上，E、F分别是棱AA₁、DD₁的中点，点P₁，P₂分别是线段AB，BD₁（不包括端点）上的动点，且线段P₁P₂平行于平面A₁ADD₁，则
（1）直线EF被球O截得的线段长为

 

．
（2）四面体P₁P₂AB₁的体积的最大值是

 

．

Answer 1

考点：球内接多面体

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）球心O到EF中点的距离d=

1

2

，球O的半径R=

3

2

，故直线EF被球O截得的线段长为：2

R2-d2

．
（2）由题意可得△P₁P₂B∽△AD₁B，设出P₁B=x，则P₁P₂=

2

x，P₂到平面AA₁B₁B的距离为x，求出四面体的体积，通过二次函数的最值，求出四面体的体积的最大值．

解答： 解：（1）球心O到EF中点的距离d=

1

2

，
球O的半径R=

3

2

，
故直线EF被球O截得的线段长为：2

R2-d2

=

2

，
（2）如下图所示：

由题意在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P₁，P₂分别是线段AB，BD₁（不包括端点）上的动点，且线段P₁P₂平行于平面A₁ADD₁，
可得△P₁P₂B∽△AD₁B，
设P₁B=x，x∈（0，1），
则P₁P₂=

2

x，P₂到平面AA₁B₁B的距离为x，
所以四面体P₁P₂AB₁的体积为V=

1

3

×

1

2

×1×x×（1-x）=

1

6

（x-x²），
当x=

1

2

时，体积取得最大值：

1

24

．
故答案是：（1）

2

，（2）

1

24

．

点评：本题考查正方体中，几何体的体积的求法，找出所求四面体的底面面积和高是解题的关键，考查计算能力．