Question

9．已知函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-2ax+bx-3$，若对于任意的a∈[-1，$\frac{2}{3}$]，任意的x∈[1，2]都有f（x）＞0恒成立，则b的取值范围是（4，+∞）．

Answer 1

分析 函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-2ax+bx-3$，若对于任意的a∈[-1，$\frac{2}{3}$]，任意的x∈[1，2]都有f（x）＞0恒成立，可得b＞$\frac{3}{x}$+2a-$\frac{1}{3}{x}^{3}$，x∈[1，2]．令g（x）=$\frac{3}{x}$+2a-$\frac{1}{3}{x}^{3}$，由g′（x）＜0，可得函数g（x）在x∈[1，2]上单调递减．可得g（x）_max=g（1）=$\frac{8}{3}$+2a，再利用其单调性即可得出．

解答 解：函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-2ax+bx-3$，若对于任意的a∈[-1，$\frac{2}{3}$]，任意的x∈[1，2]都有f（x）＞0恒成立，
b＞$\frac{3}{x}$+2a-$\frac{1}{3}{x}^{3}$，x∈[1，2]．
令g（x）=$\frac{3}{x}$+2a-$\frac{1}{3}{x}^{3}$，g′（x）=$-\frac{3}{{x}^{2}}$-x²＜0，
∴函数g（x）在x∈[1，2]上单调递减．∴g（x）_max=g（1）=$\frac{8}{3}$+2a，
又a∈[-1，$\frac{2}{3}$]，∴g（x）_max=$\frac{8}{3}$+2×$\frac{2}{3}$=4，
若对于任意的a∈[-1，$\frac{2}{3}$]，任意的x∈[1，2]都有f（x）＞0恒成立，
∴b＞4．
故答案为：（4，+∞）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．