Question

1．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为单位向量，且$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，向量$\overrightarrow{c}$满足|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2，则|$\overrightarrow{c}$|的范围为（　　）

• A． [1，1+$\sqrt{2}$]
• B． [2-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$]
• C． [$\sqrt{2}，2\sqrt{2}$]
• D． [3-2$\sqrt{2}$，3+2$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是单位向量，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0．可设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（0，1），$\overrightarrow{c}$=（x，y）．由向量$\overrightarrow{c}$满足|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2，可得（x-1）²+（y-1）²=4．其圆心C（1，1），半径r=2．利用|OC|-r≤|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}$≤|OC|+r即可得出．

解答 解：由$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是单位向量，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
可设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（0，1），$\overrightarrow{c}$=（x，y），
由向量$\overrightarrow{c}$满足|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2，
∴|（x-1，y-1）|=2，
∴$\sqrt{{（x-1）}^{2}{+（y-1）}^{2}}$=2，即（x-1）²+（y-1）²=4，
其圆心C（1，1），半径r=2，
∴|OC|=$\sqrt{2}$
∴2-$\sqrt{2}$≤|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}$≤2+$\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了向量的垂直与数量积的关系、数量积的运算性质、点与圆上的点的距离大小关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．