Question

(本题满分12分)在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是a的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=2AB

（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBD；

（Ⅱ）求二面角B—PC—D的余弦值.

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD   ∴PA⊥BD

∵ABCD为正方形   ∴AC⊥BD

∴BD⊥平面PAC又BD在平面BPD内，

∴平面PAC⊥平面BPD           .。。。。。。。。。。。。。。。。 6分

（Ⅱ）解法一：在平面BCP内作BN⊥PC垂足为N，连DN，

∵Rt△PBC≌Rt△PDC，由BN⊥PC得DN⊥PC；

∴∠BND为二面角B—PC—D的平面角，

在△BND中，BN=DN=，BD=

 

∴cos∠BND =。。。。。。。。。。。。。。。 12分

 

解法二：以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系如图，

在平面BCP内作BN⊥PC垂足为N连DN，

∵Rt△PBC≌Rt△PDC，由BN⊥PC得DN⊥PC；

∴∠BND为二面角B—PC—D的平面角

设

 

                              10分

 

               12分

 

解法三：以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图空间坐标系，作AM⊥PB于M、AN⊥PD于N，易证AM⊥平面PBC，AN⊥平面PDC，

设

 

 

∵二面角B—PC—D的平面角与∠MAN互补

∴二面角B—PC—D的余弦值为 …………………………. 12分

 

【解析】略