Question

已知g（x）=ax+2，f（x）=

2x-1，0≤x≤3 -x2，-1≤x＜0

，对?x₁∈[-1，3]，?x₀∈[-1，3]，使g（x₁）=f（x₀）恒成立，则a的取值范围是（　　）

• A、a≥-1
• B、-1≤a≤

  5

  3

• C、0＜a≤

  5

  3

• D、a≤

  5

  3

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：设A为函数g（x）=ax+2在[-1，3]上的值域，B为函数f（x）=

2x-1，0≤x≤3 -x2，-1≤x＜0

在[-1，3]上的值域，若?x₁∈[-1，3]，?x₀∈[-1，3]，使g（x₁）=f（x₀）恒成立，则A?B，进而可求得a的范围．

解答： 解：设A为函数g（x）=ax+2在[-1，3]上的值域，
B为函数f（x）=

2x-1，0≤x≤3 -x2，-1≤x＜0

在[-1，3]上的值域，
若?x₁∈[-1，3]，?x₀∈[-1，3]，使g（x₁）=f（x₀）恒成立，
则A?B，
当x∈[-1，0）时，f（x）=-x²∈[-1，0）．
当x∈[0，3]时，f（x）=2^x-1∈[0，7]，
故B=[-1，7]，
当a＜0时，A=[3a，-a]，此时

3a+2≥-1 -a+2≤7

，
解得：a∈[-1，0），
当a=0时，A={2}，满足条件；
当a＞0时，A=[-a，3a]，此时

-a+2≥-1 3a+2≤7

，
解得：a∈（0，

5

3

]，
综上-1≤a≤

5

3

，
故选：B

点评：本题考查的知识点是分段函数，存在性问题，其中将已知转化为两个函数值域的包含关系，是解答的关键．