Question

14．已知函数f（x）=（2x-x²）e^x，给以下四个结论：①f（x）＞0的解集为{x|0＜x＜2}；②$f（{-\sqrt{2}}）$是极小值，$f（{\sqrt{2}}）$是极大值；③f（x）有极小值，但无最小值；④f（x）有极小值，也有最小值．其中正确的是（　　）

• A． ①②
• B． ①②③
• C． ①②④
• D． ②④

Answer 1

分析 令f（x）＞0可解x的范围；对函数f（x）进行求导，然后令f'（x）=0求出x，在根据f'（x）的正负判断原函数的单调性进而可确定②正确．根据函数的单调性可判断极大值即是原函数的最大值，无最小值，③正确，④不正确．从而得到答案．

解答 解：由f（x）＞0可得（2x-x²）e^x＞0
∵e^x＞0，∴2x-x²＞0，∴0＜x＜2，故①正确；
f′（x）=e^x（2-x²），由f′（x）=0得x=±$\sqrt{2}$，
由f′（x）＜0得x＞$\sqrt{2}$或x＜-$\sqrt{2}$，由f′（x）＞0得-$\sqrt{2}$＜x＜$\sqrt{2}$，
∴f（x）的单调减区间为（-∞，-$\sqrt{2}$），（$\sqrt{2}$，+∞）；单调增区间为（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．
∴f（x）的极大值为f（$\sqrt{2}$），极小值为f（-$\sqrt{2}$），故②正确．
∵x＜-$\sqrt{2}$时，f（x）＜0恒成立．
∴f（x）无最小值，但有极大值．
∴③正确，④错误．
故选：B．

点评 本题的考点是利用导数研究函数的极值，主要考查函数的极值与其导函数关系，即函数取到极值时导函数一定等于0，但导函数等于0时还要判断原函数的单调性才能确定原函数的极值点．