Question

已知数列{a_n}满足a_n+1+a_n=4n+3．
（1）若数列{a_n}是等差数列，求a₁的值；
（2）当a₁=2时，求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）若对任意n∈N^*，都有

an2+an+12

an+an+1

≥4成立，求a₁的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）a₃-a₁=4，运用等差数列求解：2d=4，d=2，运用2a₁+d=7，求出a₁即可．
（2）得出a_n+2-a_n=4，可判断奇数项和偶数项，分别构成等差数列，公差为4，首项分别为2，5．
当n为偶数时，S=（a₁+a₂）+a₃+a₄+…+a_n-1+a_n
当n是奇数时，S=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+（a₆+a₇）+…+（a_n-1+a_n）
运用整体求解即可．
（3）当n为奇数时，a_n=a₁+2n-2，a_n+1=2n+5-a₁，得出2a₁²-14a₁≥-8n²+4n-17，构造函数最值求解，
当n为偶数时，a_n=2n+3-a₁，a_n+1=2n+a₁，得出2a₁²-6a₁≥-8n²+4n+3，构造函数最值求解，

解答： 解：（1）∵a_n+1+a_n=4n+3．
∴a₂+a₁=7，a₃+a₂=11，
∴a₃-a₁=4，
∵数列{a_n}是等差数列，
∴2d=4，d=2，
∴2a₁+d=7，a₁=

5

2

．

（2）当a₁=2时，a_n+1+a_n=4n+3．a_n+2+a_n+1=4（n+1）+3=4n+7，
∴a_n+2-a_n=4，a₂+a₁=7，a₂=5，a₃=6，
∴可判断奇数项和偶数项，分别构成等差数列，公差为4，首项分别为2，5．
∴数列{a_n}的前n项和S_n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n-1+a_n，
∵a_n+1+a_n=4n+3．
∴当n为偶数时，S=（a₁+a₂）+a₃+a₄+…+a_n-1+a_n
=7+15+23+…+（4n-1）=

n 2 (7+4n-1)

2

=n²+

3n

2

，
当n是奇数时，S=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+（a₆+a₇）+…+（a_n-1+a_n）
=2+11+19+27+…+（4n-1）=2+

1

2

×

n-1

2

×（11+4n-1）=
=n²+

3

2

n-

1

2

．

（3）∵判断奇数项和偶数项，分别构成等差数列，公差为4，首项分别为2，5．
∴当n为奇数时，a_n=a₁+2n-2，a_n+1=2n+5-a₁，
∵

an2+an+12

an+an+1

≥4，
∴2a₁²-14a₁≥-8n²+4n-17，
令f（n）=-8n²+4n-17，
f（n）_最大值=f（1）=-21
∴2a₁²-14a₁+21≥0
∴a₁≥

7+ 7

2

或a₁≤

7

2

-

7

2

，
当n为偶数时，a_n=2n+3-a₁，a_n+1=2n+a₁，
∵

an2+an+12

an+an+1

≥4，
∴2a₁²-6a₁≥-8n²+4n+3，
令g（n）=-8n²+4n+3
∴g（n）_最大值=g（2）=-21，
∴2a₁²-6a₁+21≥0，
△=36-168＜0，
∴a₁∈R，
综上：对任意n∈N^*，都有

an2+an+12

an+an+1

≥4成立，a₁的取值范围为：（-∞，+∞）．

点评：本题综合考察数列与函数，等式，知识的结合，分类思想的运用，整体思想的运用，属于难题．