Question

下列五个命题：
（1）y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是π；
（2）终边在y轴上的角的集合是{x|x=

kπ

2

，k∈Z}；
（3）在同一坐标系中，y=sinx的图象和y=x的图象有三个公共点；
（4）y=sin（x-

π

2

）在[0，π]上是减函数；
（5）把y=3sin（2x+

π

3

）的图象向右平移

π

6

得到y=3sin2x的图象．
其中真命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：三角函数的图像与性质,简易逻辑

分析：根据二倍角的余弦公式，终边落在y轴上的角的集合的表示，判断函数x-sinx的取值情况，余弦函数的单调性，以及三角函数的平移变换即可找出真命题的序号．

解答： 解：（1）y=sin⁴x-cos⁴x=sin²x-cos²x=-cos2x；
∴该函数的最小正周期是π，即该命题为真命题；
（2）对于集合{x|x=

kπ

2

，k∈Z}，取k=0，得到集合{x|x=0}，该集合表示的角的终边在x轴上，所以该命题为假命题；
（3）设f（x）=x-sinx，f′（x）=1-cosx≥0，∴f（x）在R上是增函数；
∴x≥0时，f（x）≥0，x≥sinx，x=0时取“=”；
x＜0时，f（x）＜0；
∴只有x=0时，x=sinx，即y=sinx与y=x图象只有一个公共点：（0，0），∴该命题为假命题；
（4）y=sin（x-

π

2

）=-cosx，∵cosx在[0，π]上是减函数，∴y=-cosx在[0，π]上为增函数，所以该命题为假命题；
（5）y=3sin（2x+

π

3

）向右平移

π

6

得到y=3sin[2（x-

π

6

）+

π

3

]=3sin2x，所以该命题为真命题；
∴真命题的序号为（1）（5）．
故答案为：（1）（5）．

点评：考查二倍角的余弦公式，角的终边落在x轴，y轴上的表示，根据函数导数符号判断函数的单调性，余弦函数的单调性，以及三角函数平移变换．