Question

如图所示，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

1

2

，左焦点为F、A、B、C为其三个顶点，直线CF与AB交于D点，求tan∠BDC的值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据椭圆的离心率得到a，b，c之间的关系，利用这些关系表示出∠BAO、∠CFO的正切值，根据图得角之间的关系：∠BDC=∠BAO+∠CFO，利用正切公式求出tan∠BDC的值．

解答： 解：由题意得离心率e=

c

a

=

1

2

，则设c=k，a=2k（k＞0），
由a²=b²+c²得，b²=a²-c²=3k²，解得b=

3

k，
由图可知，∠DFA=∠CFO，且∠BDC=∠BAO+∠DFA，
所以∠BDC=∠BAO+∠CFO，
又tan∠BAO=

OB

OA

=

b

a

=

3

2

，tan∠CFO=

OC

OF

=

b

c

=

3

，
则tan∠BDC=tan（∠BAO+∠OFC）=

tan∠BAO+tan∠CFO

1-tan∠BAOtan∠CFO

=

3 2 + 3

1- 3 2 × 3

=-3

3

，
所以tan∠BDC的值是-3

3

．

点评：本题考查椭圆的简单性质的应用，两角和差的正切函数，由图得到tan∠BDC=tan（∠BAO+∠OFC）是解题的难点和关键．