Question

函数y=f（x）是偶函数，且是周期为2的周期函数，当x∈（2，3]时，f（x）=x-1，在y=f（x）的图象上有两点A、B，它们的纵坐标相等，横坐标在区间[1，3]上，定点C的坐标为（0，a）（其中a＞2），求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：由函数的周期性及已知表达式可求x∈[0，1]时的f（x），由偶函数的性质可求x∈[-1，0]时的f（x），再由周期性可求x∈[1，2]时的f（x）；设A、B的横坐标分别为3-t，t+1，1≤t≤2，则|AB|=（t+1）-（3-t）=2t-2，△ABC的面积为S=

1

2

（2t-2）•（a-t），配方后由二次函数的性质可求面积的最大值．

解答： 解：∵f（x）是以2为周期的周期函数，当x∈[2，3]时，f（x）=x-1，
∴当x∈[0，1]时，f（x）=f（x+2）=（x+2）-1=x+1．
∵f（x）是偶函数，∴当x∈[-1，0]时，f（x）=f（-x）=-x+1，
当x∈[1，2]时，f（x）=f（x-2）=-（x-2）+1=-x+3．
设A、B的横坐标分别为3-t，t+1，1≤t≤2，
则|AB|=（t+1）-（3-t）=2t-2，
∴△ABC的面积为S=

1

2

（2t-2）•（a-t）=-t²+（a+1）t-a，
=-（t-

a+1

2

）²+

a2-2a+1

4

（1≤t≤2），
∵2＜a＜3，∴

3

2

＜

a+1

2

＜2，
∴当t=

a+1

2

时，S_最大值=

a2-2a+1

4

．

点评：该题考查函数的奇偶性、周期性及其应用，考查函数解析式的求解，考查二次函数的性质，考查学生综合运用知识解决问题的能力．