Question

【题目】已知函数 ．
（1）a的值为多少时，f（x）是偶函数？
（2）若对任意x∈[0，+∞），都有f（x）＞0，求实数a的取值范围．
（3）若f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为 = ，

要使f（x）是偶函数，则f（﹣x）=f（x）

即2﹣x+2+a2x=2x+2+a2﹣x，解得a=1

（2）解：因为f（x）＞0，所以4x+2x+1+a＞0，

即（2x+1）2+a﹣1＞0

所以a＞1﹣（2x+1）2，

因为x≥0，所以2x≥1，所以（2x+1）2≥4，所以1﹣（2x+1）2≤﹣3，

所以a＞﹣3

（3）解：任取0≤x1＜x2，则f（x1）＜f（x2）

即 ，

即 ，

因为0≤x1＜x2，所以 ﹣a＞0，

即a＜ ，

因为 ＞1，

所以a≤1

【解析】（1）利用偶函数的定义进行求值．（2）求函数的最小值即可．（3）利用函数单调性的定义进行求值判断．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数单调性的判断方法(单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较)，还要掌握函数的奇偶性(偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称)的相关知识才是答题的关键．