Question

7．在极坐标系中，已知圆C圆心的极坐标为（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），半径为$\sqrt{3}$．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）以极点为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，且|AB|∈[2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{3}$），求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）圆C圆心的极坐标为（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），化为直角坐标：C（1，1），半径为$\sqrt{3}$．直角坐标方程为：（x-1）²+（y-1）²=3，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出极坐标方程．
（2）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），代入圆的方程可得：t²+（2cosα+2sinα）t-1=0，利用|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$∈[2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{3}$），即可得出．

解答 解：（1）圆C圆心的极坐标为（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），化为直角坐标：C（1，1），半径为$\sqrt{3}$．
∴直角坐标方程为：（x-1）²+（y-1）²=3，化为x²+y²-2x-2y=1，化为极坐标方程：ρ²-2ρcosθ-2ρsinθ=1．
（2）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），代入圆的方程可得：（1+tcosα）²+（1+tsinα）²=3，
化为：t²+（2cosα+2sinα）t-1=0，
∴t₁+t₂=-（2cosα+2sinα），t₁t₂=-1，
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（2cosα+2sinα）^{2}+4}$=$\sqrt{8+8sinαcosα}$∈[2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{3}$），
∴0≤sinαcosα$＜\frac{1}{2}$，
解得：0≤tanα＜1．
∴直线l的斜率k的取值范围是[0，1）．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．