Question

已知cosα+sinβ=

3

，sinα+cosβ的取值范围是D，x∈D，则函数log

1

9

2x+3

4x+7

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：复合函数的单调性

专题：计算题,函数的性质及应用,三角函数的求值

分析：令t=sinα+cosβ，①cosα+sinβ=

3

，②，①²+②²，由平方关系和两角和的正弦公式及正弦函数的值域即可得到范围D，令y=

2x+3

4x+7

，则可运用导数求出区间D的单调性，即可得到y的最大值，从而由对数函数的单调性得到最小值．

解答： 解：令t=sinα+cosβ，①
cosα+sinβ=

3

，②
①²+②²，得t²+3=2+2sin（α+β）．
∴2sin（α+β）=t²+1∈[-2，2]．
即t²+1≤2且t²+1≥-2，解得-1≤t≤1，
即有取值范围D为[-1，1]，
由于x∈D，令y=

2x+3

4x+7

，则y=

2x+3

2(2x+3)+1

=

1

2 2x+3 + 1 2x+3

≤

1

2 2

，
当且仅当2

2x+3

=

1

2x+3

，即有x=-

5

4

∉[-1，1]，
故y取不到最大值

1

2 2

．
则函数的导数y′=

-4x-5

2x+3 •(4x+7)2

，在[-1，1]上y′＜0，函数y是减函数，
则有x=-1，即y有最大值为

1

3

，
则函数log

1

9

2x+3

4x+7

的最小值为log

1

9

1

3

=

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查三角函数的取值范围和复合函数的最值，考查三角恒等变换公式的运用，考查函数的单调性及运用，考查运算能力，属于中档题．