Question

18．等差数列{a_n}中，a₅=3，a₂₃=3a₇
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{1}{{n{a_n}}}$，求数列{b_n}}的前n项和{S_n}．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据等差数列的定义构成方程组，即可求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求出求数列{c_n}的通项公式，利用裂项法即可求前n项和S_n．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，则a_n=a₁+（n-1）d
因为$\left\{{\begin{array}{l}{{a_7}=4}\\{{a_{19}}=2{a_9}}\end{array}}\right.$，所以$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}+6d=4}\\{{a_1}+18d=2（{a_1}+8d）}\end{array}}\right.$，解得，a₁=1，d=$\frac{1}{2}$．
所以{a_n}的通项公式为a_n=$\frac{n+1}{2}$．
（Ⅱ）b_n=$\frac{1}{{n{a_n}}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
所以S_n=2（1-$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}$$-\frac{1}{3}$+…$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=2（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题主要考查等差数列的通项公式的求解，以及利用裂项法进行求和，考查学生的计算能力．