Question

【题目】已知椭圆的中心为原点，长轴在轴上，左顶点为，上、下焦点分别为，线段的中点分别为，且是斜边长为的直角三角形.

（1）若点在椭圆上，且为锐角，求的取值范围；

（2）过点作直线交椭圆于点，且，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根据是斜边长为的直角三角形可求得，进而可得椭圆的方程；根据为锐角，可得且与不共线，进而得到，利用椭圆方程可化为，解不等式，结合椭圆的范围及可得到结果；

（2）设直线方程，与椭圆联立得到韦达定理的形式；根据垂直关系可得，根据坐标运算可表示为符合韦达定理的式子，代入可构造关于的方程，解方程求得结果.

（1）设椭圆，则，，

，

是斜边长为的直角三角形

即， 椭圆

，

为锐角 且与不共线

在椭圆上 ，即

解得：或

又 的取值范围为

（2）由题意知，直线斜率存在，设方程为：

代入椭圆方程中得：

设，，则，

即

，解得：

直线的方程为：