Question

8．设数列{a_n}满足对任意的n∈N^*，P_n（n，a_n）满足$\overrightarrow{{P_n}{P_{n+1}}}$=（1，2），且a₁+a₂=4，则数列{$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$}的前n项和S_n为$\frac{n}{2n+1}$．

Answer 1

分析 数列{a_n}满足对任意的n∈N^*，P_n（n，a_n）满足$\overrightarrow{{P_n}{P_{n+1}}}$=（1，2），可得a_n+1-a_n=2，利用等差数列的通项公式可得a_n，再利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足对任意的n∈N^*，P_n（n，a_n）满足$\overrightarrow{{P_n}{P_{n+1}}}$=（1，2），
∴a_n+1-a_n=2，∴数列{a_n}是公差为2的等差数列．
∵a₁+a₂=4，∴2a₁+2=4，解得a₁=1．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∴$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴数列{$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$}的前n项和S_n为=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{2n+1}$．
故答案为：$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．