Question

16．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，b=acosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$asinC．
（1）求A；
（2）若a=2，求b+c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由b=acosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$asinC，利用正弦定理可得sinB=sinAcosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinAsinC．又sinB=sin（A+C），代入化简即可得出．
（2）由正弦定理可得：$\frac{2}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，b+c=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（sinB+sinC）=4$sin（B+\frac{π}{6}）$，即可得出．

解答 解：（1）∵b=acosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$asinC，∴sinB=sinAcosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinAsinC．
∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴cosAsinC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinAsinC．∵A，C∈（0，π），∴tanA=$\sqrt{3}$，解得A=$\frac{π}{3}$．
（2）由正弦定理可得：$\frac{2}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，
可得b+c=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（sinB+sinC）=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$[sinB+sin（$\frac{2π}{3}-B$）]=4$sin（B+\frac{π}{6}）$，
∵B∈$（0，\frac{2π}{3}）$，∴$（B+\frac{π}{6}）$∈$（\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$，
∴$sin（B+\frac{π}{6}）$∈$（\frac{1}{2}，1]$，
∴b+c∈（2，4]．

点评 本题考查了正弦定理、三角函数求值、和差公式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．