Question

11．四棱柱 ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面为平行四边形，以顶点 A 为端点的三条棱长都相等，且两两夹角为 60°．则线段 AC₁与平面ABC所成角的正弦值为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 以顶点 A 为端点的三条棱长都相等，且两两夹角为 60，由AC就是AC₁在平面ABC内的投影，得∠C₁AC是线段 AC₁与平面ABC所成角，求出AC₁，利用余弦定理求解．

解答 解：设以顶点 A 为端点的三条棱长都相等为1，
∵$\overrightarrow{A{C}_{1}}=\overrightarrow{A{A}_{1}}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}$，且$\overrightarrow{A{A}_{1}}，\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{AB}$两两夹角为 60°．
${\overrightarrow{A{C}_{1}}}^{2}=（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}_{1}}+\overrightarrow{AB}）^{2}$=$\sqrt{6}$，
∵以顶点 A 为端点的三条棱长都相等，且两两夹角为 60，
∴AC就是AC₁在平面ABC内的投影，
∴∠C₁AC是线段 AC₁与平面ABC所成角，
在△ACC₁中，AC₁=$\sqrt{6}$，CC₁=1，AC=$\sqrt{3}$，
由余弦定理得cos$∠{C}_{1}AC=\frac{A{C}^{2}+A{{C}_{1}}^{2}-C{{C}_{1}}^{2}}{2AC•A{C}_{1}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
则线段 AC₁与平面ABC所成角的正弦值为$\sqrt{1-（\frac{2\sqrt{2}}{3}）^{2}}=\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$

点评 本题考查了棱柱的结构特征，空间距离的计算，构造合适的三角形是关键．属于中档题，