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已知函数f(x)=ax+数学公式-a(a∈R,a≠0)在x=3处的切线方程为(2a-1)x-2y+3=0
(1)若g(x)=f(x+1),求证:曲线g(x)上的任意一点处的切线与直线x=0和直线y=ax围成的三角形面积为定值;
(2)若f(3)=3,是否存在实数m,k,使得f(x)+f(m-x)=k对于定义域内的任意x都成立;
(3)若方程f(x)=t(x2-2x+3)|x|有三个解,求实数t的取值范围.

证明:(1)因为 f′(x)=a-
所以 f′(3)=a-=,b=2…(2分)
又 g(x)=f(x+1)=ax+
设g(x)图象上任意一点P(x0,y0)因为 g′(x)=a-
所以切线方程为y-(ax0+)=(a-)(x-x0)…(4分)
令x=0 得y=; 再令y=ax得 x=2x0
故三角形面积S=|||2x0|=4,
即三角形面积为定值.…(6分)
解:(2)由f(3)=3得a=1,f(x)=x+-1假设存在m,k满足题意,
则有x-1++m-x-1+=k
化简,得 对定义域内任意x都成立,…(8分)
故只有解得
所以存在实数m=2,k=0使得f(x)+f(m-k)=k对定义域内的任意都成立.…(11分)
(3)由题意知,x-1+=t(x2-2x+3)|x|
因为x≠0,且x≠1
化简,得 t=…(13分)
=|x|(x-1)…(15分)
如图可知,-<0
所以t<-4即为t的取值范围.…(16分)
分析:(1)先求导数:f′(x)=a-利用导数的几何意义求出切线方程,令x=0 得y=; 再令y=ax得 x=2x0,从而证得三角形面积为定值;
(2)对于存在性问题,可先假设存在,即假设存在m,k满足题意,再利用 对定义域内任意x都成立,求出m,k,若出现矛盾,则说明假设不成立,即不存在;否则存在.
(3)由题意知,x-1+=t(x2-2x+3)|x|,分离出t:t=,画出此函数的图象,由图可知t的取值范围.
点评:本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的极值、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.
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x
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1
2
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1
4
)
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