Question

已知二次函数f（x）=x²-2（2m-1）x+5m²-2m+4在[0，1]上的最小值为g（m）；
（1）求g（m）的解析式；
（2）若m∈[-2，0]，设g（m）的最小值为M，计算log₁₉

5

（1+log₅M）的值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）二次函数f（x）的图象的对称轴为x=2m-1，再分对称轴在所给区间的左侧、中间、右侧三种情况，分别求得f（x）的最小值为g（m）的解析式，综合可得结论．
（2）根据m∈[-2，0]，则g（m）为减函数，求得g（m）的最小值为M=4，再利用对数的运算性质，求得log₁₉

5

（1+log₅M）的值．

解答： 解：（1）二次函数f（x）=x²-2（2m-1）x+5m²-2m+4的图象的对称轴为x=2m-1，
当2m-1＜0 时，即m＜

1

2

时，f（x）在[0，1]上单调递增，f（x）的最小值为g（m）=f（0）=5m²-2m+4；
当2m-1∈[0，1]时，即m∈[

1

2

，1]时，f（x）在[0，2m-1]上单调递减，在[2m-1]，1]上单调递增，f（x）的最小值为g（m）=f（2m-1）=m²+2m+3；
当2m-1＞1 时，即m＞1时，f（x）在[0，1]上单调递减，f（x）的最小值为g（m）=f（1）=5m²-6m+7，
故g（m）=

5m2-2m+4，m＜ 1 2 m2+2m+3，m∈[ 1 2 ，1] 5m2-6m+7，m＞1

．
（2）若m∈[-2，0]，则g（m）=5m²-2m+4为减函数，故g（m）的最小值为M=g（0）=4，
log₁₉

5

（1+log₅M）=log₁₉

5

+log₁₉

5

•log₅4=log₁₉

5

+log₁₉

5

•log

5

2=log₁₉（

5

×2）=log₁₉（2

5

）．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，对数的运算性质，体现了分类讨论的数学思想，属基础题．