Question

14．如图，已知$\overrightarrow{AB}=a$，$\overrightarrow{AC}=b$，$\overrightarrow{DC}=3\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{EC}$，则$\overrightarrow{DE}$=（　　）

• A． $\frac{3}{4}b-\frac{1}{3}a$
• B． $\frac{5}{12}a-\frac{3}{4}b$
• C． $\frac{3}{4}a-\frac{1}{3}b$
• D． $\frac{5}{12}b-\frac{3}{4}a$

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{CE}$，则$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE}$．

解答 解：∵$\overrightarrow{DC}=3\overrightarrow{BD}$，∴$\overrightarrow{DC}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{4}$（$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$）=$\frac{3}{4}\overrightarrow{b}-\frac{3}{4}\overrightarrow{a}$，
∵$\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{EC}$，∴$\overrightarrow{CE}$=-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$=-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$．
∴$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE}$=$\frac{5}{12}\overrightarrow{b}-\frac{3}{4}\overrightarrow{a}$．
故选D．

点评 本题考查了平面向量的几何运算，属于中档题．