Question

【题目】正四棱锥（底面为正方形，顶点在底面上的射影是底面的中心）S﹣ABCD的底面边长为2，高为2，E为边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为（ ）
A.
B.
C.3
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：连接AC，BD交于点O，连接SO，则SO⊥平面ABCD
由AC平面ABCD，故SO⊥AC
取SC中点F和CD中点G，连接GE交AC于H
则H为OC的中点，故FH∥SO，
则FH⊥AC
又由GE∥BD，BD⊥AC得GE⊥AC
∵GE∩FH=H，GE，FH平面FGE
∴AC⊥平面FGE
故当P∈平面FGE时，总有PE⊥AC，
故动点P的轨迹即为△FGE的周长
又∵正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为2，高为2，
故SO=2，BD=2
则GE= ，SB=
则FE=FG=
故△FGE的周长为
故选D

由动点P在正四棱锥的表面上运动，并且总保持PE⊥AC，故P点落在过E点且于AC垂直的平面上，根据线面平行的判定定理，找到满足条件的P点轨迹，解三角形可得答案．