Question

【题目】某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P与日产量x（万件）之间大体满足关系： ．（注：次品率=次品数/生产量，如P=0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）．已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．
（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T（万元）表示为日产量x（万件）的函数；
（2）当日产量x为多少时，可获得最大利润？

Answer 1

【答案】
（1）解：当x≥6时，P= ，则T= x×2﹣ x×1=0．

当1≤x＜6时，P= ，则T=（1﹣ ）x×2﹣（ ）x×1= ．

综上所述，日盈利额T（万元）与日产量x（万件）的函数关系为：T=

（2）解：由（1）知，当x≥6时，每天的盈利为0．

当1≤x＜6时，T（x）= =15﹣2[（6﹣x）+ ]≤15﹣12=3，

∴T≤3．

当且仅当x=3时，T=3．

综上，当日产量为3万件时，可获得最大利润3万元

【解析】（1）每天的赢利为T=日产量（x）×正品率（1﹣P）×2﹣日产量（x）×次品率（P）×1，根据分段函数分段研究，整理即可；（2）利用基本不等式求函数的最大值．