【题目】设函数.
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)当时,讨论
的零点个数.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ) 求出,分三种情况讨论,分别令
得增区间,
得减区间;(Ⅱ) 由(Ⅰ)知
在
上递增,
上递减,
上递增,利用导数研究函数的单调性,结合零点存在定理,可判定函数在
,
,
上各有一个零点,即可得结果.
试题解析:(Ⅰ) .
①当时,
,当
时,
,
当时,
.当
时,
.∴
在
递增
②当时,令
,得
,此时
.
易知在
递增,
递减,
递增
③当时,
.易知
在
递增,
递减,
递增
(Ⅱ)当时,由(Ⅰ)知在
上递增,
上递减,
上递增,
且,将
代入
,
得
∵,∴
.
下面证明 当时存在
,使
.
首先,由不等式,∴
,∴
,∴
.
考虑到,
∴
.
再令,可解出一个根为
,
∵,∴
,∴
,就取
.
则有.由零点存在定理及函数
在
上的单调性,可知
在
上有唯一的一个零点.
由,及
的单调性,可知
在
上有唯一零点.
下面证明在上,存在
,使
,就取
,则
,
∴,
由不等式,则
,即
.
根据零点存在定理及函数单调性知在
上有一个零点.
综上可知, 当
时,共有3个零点.
【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、以及零点存在性定理,属于难题.利用导数研究函数的单调性的步骤:①确定函数
的定义域;②对
求导;③令
,解不等式得
的范围就是递增区间;令
,解不等式得
的范围就是递减区间.
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【题目】定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的 ,令
⊙
=mq-np,下面说法错误的是( )
A.若 与
共线,则
⊙
=0
B. ⊙
=
⊙
C.对任意的λ∈R,有 ⊙
=
⊙
)
D.( ⊙
)2+(
)2=|
|2|
|2
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【题目】如图,某生态园将一块三角形地的一角
开辟为水果园,已知角
为
,
的长度均大于200米,现在边界
处建围墙,在
处围竹篱笆.
(1)若围墙、
总长度为200米,如何可使得三角形地块
面积最大?
(2)已知竹篱笆长为米,
段围墙高1米,
段围墙高2米,造价均为每平方米100元,若
,求围墙总造价的取值范围.
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【题目】已知点是圆
上的任意一点,点
为圆
的圆心,点
与点
关于平面直角系的坐标原点对称,线段
的垂直平分线与线段
交于点
.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)若轨迹与
轴正半轴交于点
,直线
交轨迹
于
两点,求
面积的取值范围.
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【题目】已知函数对一切实数
都有
成立,且
.
(1)求的值;
(2)求的解析式;
(3)已知,设
:当
时,不等式
恒成立;Q:当
时,
是单调函数。如果满足
成立的
的集合记为
,满足Q成立的
的集合记为
,求A∩(CRB)(
为全集).
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【题目】有下列命题:
①在函数的图象中,相邻两个对称中心的距离为
;②函数
的图象关于点
对称;③“
且
”是“
”的必要不充分条件;④已知命题
:对任意的
,都有
,则
是:存在
,使得
;⑤在
中,若
,
,则角
等于
或
.其中所有真命题的个数是__________.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程是
,以极点为原点,极轴为
轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线
的参数方程为
(
为参数).
(Ⅰ)写出直线的普通方程与曲线
的直角坐标方程;
(Ⅱ)设曲线经过伸缩变换
得到曲线
,若点
,直线
与
交与
,
,求
,
.
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