Question

6．如图，四边形ABCD中，∠CBD=α，∠C=β，∠A+β=π，AB=2，AD=1，$\sqrt{3}$BC=$\sqrt{3}$BDcosα+CDsinβ
（1）求角β的大小
（2）求四边形ABCD周长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）条件化为$\sqrt{3}$sin（α+β）=$\sqrt{3}$sinβcosα+sinαsinβ，即可求角β的大小；（Ⅱ）求出CB+CD≤2$\sqrt{7}$，即可求四边形ABCD周长的取值范围．

解答 解：（1）∵$\sqrt{3}$BC=$\sqrt{3}$BDcosα+CDsinβ，
∴$\sqrt{3}$sin∠BDC=$\sqrt{3}$sinβcosα+sinαsinβ，
∴$\sqrt{3}$sin（α+β）=$\sqrt{3}$sinβcosα+sinαsinβ，
化简可得tanβ=$\sqrt{3}$，∴β=$\frac{π}{3}$；
（2）由题意，∠BAD=$\frac{2π}{3}$，BD=$\sqrt{4+1-2×2×1×（-\frac{1}{2}）}$=7，
∵BD²=CB²+CD²-2CB•CD•cosβ=（CB+CD）²-3CB•CD≥$\frac{{（CB+CD）}^{2}}{4}$，
∴CB+CD≤2$\sqrt{7}$，∵CB+CD＞$\sqrt{7}$，
∴四边形ABCD周长的取值范围（3+$\sqrt{7}$，3+2$\sqrt{7}$）．

点评 本题考查三角函数的化简，考查余弦定理的运用，属于中档题．