Question

18．在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知tan（$\frac{π}{4}$+A）=2．
（Ⅰ）求cos（2A+$\frac{π}{3}$）的值；
（Ⅱ）若B=$\frac{π}{4}$，a=3，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知展开两角和的正切求得tanA，结合同角三角函数的基本关系式求得sinA，cosA的值，再由倍角公式求出sin2A，cos2A的值，代入两角和的余弦求得cos（2A+$\frac{π}{3}$）的值；
（Ⅱ）由已知与正弦定理求得b，再由两角和的正弦求得sinC，代入三角形面积公式得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵$tan（\frac{π}{4}+A）=2$，∴$\frac{{tan\frac{π}{4}+tanA}}{{1-tan\frac{π}{4}tanA}}=2$，即$tanA=\frac{1}{3}$．
且A为三角形内角，∴A∈（0，$\frac{π}{2}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{sinA}{cosA}=\frac{1}{3}}\\{si{n}^{2}A+co{s}^{2}A=1}\end{array}\right.$，解得$sinA=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，$cosA=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$，
∴$sin2A=2sinAcosA=\frac{3}{5}$，$cos2A=2{cos^2}A-1=\frac{4}{5}$，
∴$cos（2A+\frac{π}{3}）=cos2Acos\frac{π}{3}$$-sin2Asin\frac{π}{3}=\frac{{4-3\sqrt{3}}}{10}$；
（Ⅱ）由正弦定理可知，$\frac{b}{sinB}=\frac{a}{sinA}$，∴$b=3\sqrt{5}$．
∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB$+cosAsinB=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
∴$S=\frac{1}{2}absinC=9$．

点评 本题考查两角和与差的正弦、余弦和正切，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是中档题．