Question

已知下列命题：
①若A、B、C、D是空间任意四点，则有

AB

+

BC

+

CD

+

DA

=

0

；
②|

a

+

b

|=

|a|

+

|b|

是

a

、

b

共线的充要条件；
③若

a

，

b

，

c

是空间三向量，则|

a

-

b

|≤|

a

-

c

|+|

c

-

b

|；
④对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若

0P

=x

OA

+y

OB

+z

OC

（其中x、y、z∈R），则P、A、B、C四点共面．
其中不正确的命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：规律型

分析：①根据向量的加法法则进行判断；
②根据向量共线的充要条件进行判断；
③根据向量三角形法则进行判断；
④根据空间四点共面的等价条件进行判断．

解答： 解：①根据向量的加法法则可知

AB

+

BC

+

CD

+

DA

=

0

，∴①正确；
②若|

a

+

b

|=

|a|

+

|b|

，则|

a

+

b

|²=（

|a|

+

|b|

）²，即2

a

•

b

=2|

a

||

b

|，即

a

、

b

共线，
若

a

、

b

共线，且

b

=-

a

时，|

a

+

b

|=

|a|

+

|b|

，不成立，∴②错误．
③∵

a

-

b

=（

a

-

c

）+（

c

-

b

），∴根据向量三角形法则可知

a

-

b

|≤|

a

-

c

|+|

c

-

b

|成立，∴③正确；
④对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若

0P

=x

OA

+y

OB

+z

OC

（其中x、y、z∈R），只有当x+y+z=1时，P、A、B、C四点才共面，∴④错误．
故答案是：②④．

点评：本题主要考查与向量有关的命题的真假判断，要求熟练掌握向量的有关概念，考查学生的推理判断能力．