Question

已知函数f（x）=ax-lnx．（a为常数）
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）求函数f（x）在[1，+∞）上的最值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=1代入求出其导函数，得出其在定义域上的单调性，即可求出函数f（x）的最值；
（Ⅱ）先求出其导函数f′（x）=a-

1

x

，通过讨论a的取值得出函数在[1，+∞）上的单调性，进而求出函数f（x）在[1，+∞）上的最值．

解答：解：（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）=x-lnx，x∈（0，+∞）
∵f′（x）=1-

1

x

，令f'（x）=0得x=1
∵当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，∴函数f（x）在（0，1）上为减函数
∵当x∈（1，+∞）时f'（x）＞0，∴函数f（x）在（1，+∞）上为增函数
∴当x=1时，函数f（x）有最小值，f（x）_最小值=f（1）=1
（Ⅱ）∵f′（x）=a-

1

x

，
若a≤0，则对任意的x∈[1，+∞）都有f'（x）＜0，∴函数f（x）在[1，+∞）上为减函数
∴函数f（x）在[1，+∞）上有最大值，没有最小值，f（x）_最大值=f（1）=a；
若a＞0，令f'（x）=0得x=

1

a

当0＜a＜1时，

1

a

＞1，当x∈（1，

1

a

）时f'（x）＜0，函数f（x）在（1，

1

a

）上为减函数
当x∈（

1

a

，+∞）时f'（x）＞0∴函数f（x）在（

1

a

，+∞）上为增函数
∴当x=

1

a

时，函数f（x）有最小值，f（x）最小值=f（

1

a

）=1-ln

1

a

当a≥1时，

1

a

≤1在[1，+∞）恒有f'（x）≥0
∴函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，函数f（x）在[1，+∞）有最小值，f（x）_最小值=f（1）=a．
综上得：当a≤0时，函数f（x）在[1，+∞）上有最大值，f（x）_最大值=a；
当0＜a＜1时，函数f（x）有最小值，f（x）最小值=1-ln

1

a

，没有最大值；
当a≥1时，函数f（x）在[1，+∞）有最小值，f（x）_最小值=a，没有最大值．

点评：本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值以及利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．